مقدمه

مجموعه اعداد اول زیر مجموعه‌ای از اعداد طبیعی است که هر کدام از عضوهای آن فقط دو مقسوم علیه مثبت دارند که یکی از مقسوم علیه‌ها 1 و دیگری خود آن عدد می‌باشد. با این تعریف معلوم می‌شود که عدد اول نیست، چون فقط یک مقسوم علیه دارد. مجموعه اعداد اولی که عدد طبیعی m بر آنها بخش‌پذیر باشد عاملهای اول m نامیده می‌شوند. هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را می‌توان به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه کرد.

شرایط بخش پذیری اعداد طبیعی به چند عدد نخست مجموعه اعداد اول

بخش‌پذیری بر 2: شرط لازم برای آن که یک عدد بر 2 بخش‌پذیر باشد، آن است که رقم یکان آن زوج باشد مانند 30 ، 1996 ، 204.
بخش‌پذیری بر 3: شرط لازم برای آن که عددی بر 3 بخش‌پذیر باشد آن است که مجموع ارقام آن عدد بر 3 بخش پذیر باشد. مانند 192 (زیرا مجموع ارقام آنها برابر 12 می‌باشد).
بخش‌پذیری بر 5: شرط لازم برای آن که یک عدد بر 5 بخش‌پذیر باشد آن است که رقم یکان آن صفر یا 5 باشد، مانند 205 ، 410.
بخش‌پذیری بر 7: عددی بر 7 بخش‌پذیر است که اگر رقم اول سمت چپ آن را در 3 ضرب کرده و با رقم دوم سمت چپ جمع کنیم وحاصل را بر 7 تقسیم کنیم، سپس باقیمانده تقسیم را دوباره در 2 ضرب کرده و با رقم سوم از سمت چپ جمع و حاصل را بر 7 تقسیم کنیم و همین عملها را تا آخرین رقم ادامه دهیم، در پایان باقیمانده بر 7 تقسیم بر 7 برابر با صفر باشد.
بخش‌پذیری بر 11: عددی بر 11 بخش‌پذیر است که اختلاف مجموع ارقام مرتبه زوج (یکان ، صدگان ، ده هزارگان و ... ) با مجموع ارقام مرتبه فرد (دهگان ، هزارگان ، صدگان و ...) بر 11 بخش‌پذیر باشد.

در حالت m

عددی مانند m اول است اگر و تنها اگر m بر هیچ کدام از اعداد اول تابیشتر از جذر m بخش‌پذیر نباشد. برای تجزیه یک عدد به حاصلضرب عاملهای اول ، آن را به کوچکترین عدد اولی که بر آن بخش‌پذیر باشد تقسیم می‌کنیم و خارج قسمت را نیز بر کوچکترین عدد اولی که بر آن بخش پذیر باشد تقسیم می‌کنیم و این کار را تاجایی ادامه می‌دهیم که خارج قسمت یک باشد. در این صورت حاصلضرب مقسوم علیه‌ها ، حاصلضرب عاملهای اول عدد مورد نظر خواهد بود. مانند 45 = 2² + 3²

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد

کوچکترین مضرب مشترک دو عدد a و b عبارت است از کوچکترین عددی که بر هم بر a و هم بر b بخش‌پذیر باشد. برای پیدا کردن کوچکترین مضرب مشترک دو عدد b,a (ک.م.م) که آن را به صورت a,b نمایش می‌دهیم، ابتدا دو عدد a و b را به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه می‌کنیم. سپس کوچکترین مضرب مشترک دو عدد عبارت است از حاصلضرب عاملهای مشترک و غیر مشترک با توان بیشتر که در تجزیه دو عدد موجود است. به عنوان مثال ک.م.م دو عدد 36 و45 برابر است با 2²X3²X5 یعنی 180 خواهد بود.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b عبارت است از بزرگترین عددی که هم a و هم b بر آن بخش‌پذیر باشد. برای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد b,a را به حاصلضرب (ب.م.م) که آن را به صورت (a,b) نمایش می‌دهیم؛ ابتدا دو عدد a و b را به حاصلضرب عاملهای اول تجزیه می‌کنیم، سپس بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد عبارت است از حاصلضرب عاملهای مشترک دو عدد a و b با توان بیشتر که در تجزیه دو عدد موجود است. به عنوان مثال ب.م.م دو عدد 45 و 36 برابر با 3² یعنی 9 می‌باشد.

دو عدد متباین

دو عدد را نسبت به هم اول یا متباین گویند هر گاه ب.م.م آن دو عدد برابر با 1 باشد. برای مثال دو عدد 8 و 9 نسبت به هم اول هستند، زیرا 1=(9 و 8). بزرگترین مقسوم علیه مشترک n عدد نیز به همین صورت تعریف می‌شود. باید توجه داشت که در این حالت منظور از عاملهای مشترک ، اعداد اولی هستند که در تجزیه تمامی n عدد مشترک می‌باشد. برای هر دو عدد طبیعی a,b تساوی (a ,b).a,b=ab برقرار می‌باشد.

تعداد مقسوم علیه های مثبت یک عدد

در حالت کلی اگر عدد تجزیه به عوامل a به صورت P₂^α₂X P_n^α_nXP₁^α₁ باشد، که در آن P₁ ، P_n ، ... ، P₂ اعداد اول متمایز می باشند، برای نوشتن یک مقسوم علیه از a می‌توانیم از عاملهای P₁ به تعداد 0 و1 و......و α₁ و از عاملهای P₂ به تعداد 0 و 1و......و α₂ و.... و بالاخره از عاملهای P₁ به تعداد 0 و 1 و ... α_n انتخاب کنیم که طبق اصل ضرب این عدد به تعداد (α₁+1)X(α₂+1)….(α_n+1) مقسوم علیه خواهد داشت.

اصل ضرب

اگر از A₁ به m₁ ، A₂ مسیر ، از A₂ به m₂ ، A₃ مسیر و ... و از A_n به m_n ، A_n+₁ مسیر مستقل موجود باشد، آنگاه برای اینکه از A₁ به A_n+₁ برسیم، m₁Xm₂X...Xm_n مسیر وجود خواهد داشت.

جذر

جذر یک عدد یعنی پیدا کردن ریشه آن عدد است. جذر n^m برابر است با ریشه دوم n^m.

انگاره گلدباخ

انگاره‌ی گلدباخ (حدس گلدباخ) از جمله معروف‌ترین مسایل حل نشده‌ی ریاضیات می‌باشد.برای درک این مساله تنها کافیست با مفهوم اعداد اول آشنا باشید. این انگاره چنین است:

هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 2 حاصل‌جمع دو عدد اول است.

صورت معادل آن چنین است:

هر عدد صحیح زوج بزرگ‌تر از 5 حاصل‌جمع سه عدد اول است.

تاریخچه

گلدباخ (1690 – 1764) به خاطر این حدس که آن را در سال 1742 در نامه‌ای به اویلر مطرح کرد، نامش در تاریخ ریاضیات باقی مانده است. او ملاحظه کرد در هر موردی که امتحان می‌کند، هر عدد زوج را (به جز 2 و 5) می‌توان به صورت مجموع سه عدد اول نوشت.اویلر حدس گلدباخ را تعمیم داد به طوری‌که هر عدد زوج بزرگ‌تر از 2 را می‌توان به صورت مجموع دو عدد اول نوشت. مثلاً

4=2+2 , 6=3+3 , 8=5+3 , 10=5+5 , 12=5+7 , 14=7+7 , 16=13+3 , 18=11+7 , 20=13+7 , … , 48 = 29 +19 , … , 100 = 97 + 3 , …

گلدباخ از اویلر پرسید که آیا می‌تواند این مطلب را برای همه عددهای زوج ثابت کند و یا اینکه مثال نقضی برای آن بیابد؟ شواهد تجربی در تایید اینکه هر عدد زوج به این صورت قابل نمایش است، کاملاً قانع‌کننده است و هر کسی می‌تواند با امتحان کردن چند عدد زوج، این موضوع را تحقیق کند. منشأ دشواری در این است که عددهای اول بر حسب ضرب تعریف می‌شوند در حالی که این مسأله با جمع سروکار دارد. به طور کلی، اثبات رابطه بین ویژگیهای ضربی و جمعی اعداد صحیح کار مشکلی است.